题目

已知对任意实数x，不等式e^x＞x+m，恒成立，则m的取值范围是______．

提问时间：2020-07-18

答案

对任意实数x，不等式e^x＞x+m恒成立，即m＜e^x-x恒成立，
所以 m＜e^x-x的最小值．
令 f（x）=e^x-x，则 f'（x）=e^x-1，
由x＜0时f'（x）＜0，当x=0时，f'（x）=0，当x＞0时f'（x）＞0，
那么f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x=0处取最小值f（0）=1，
因此，m的取值范围是{m|m＜1}．
故答案为（-∞，1）．

把给出的不等式分离参数m，然后构造辅助函数，由导函数分析导函数的最小值，则答案可求．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分离变量法及函数构造法，是中档题．