题目

在数列an中,a1=1,a（n+1）=2an+2的n次方 设bn=an/2的n-1方,证明（bn）是等差数列 求an的前n项和Sn

提问时间：2020-07-18

答案

a(1)=1
a(n+1)=2a(n)+2^n
a(n+1)/2^n=a(n)/2^(n-1)+1
b(n+1)=b(n)+1,所以b(n) 是等差数列且公差为1,c(n)=c(1)+n-1=a(2)/2+n-1=(2a1+2^1)/2+n-1=n+1
a(n+1)=(n+1)2^n a(n)=n2^(n-1) n倍的2的(n-1)次方
S(n)=a1+a2+a3+.+an=1+2×2+3×2^2+.+(n-1)2^(n-2)+n2^(n-1)
2S(n)= 1×2+2×2^2+.+(n-2)2^(n-2)+(n-1)2^(n-1)+n×2^n
S(n)=-1-2-2^2-.-2^(n-1)+n×2^n=n×2^n-2^n+1
S(n)=(n-1)×2^n+1