题目

函数f（x）=ax²+x-1+3a（a∈R）在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-18

答案

当a=0时，f（x）=x-1，令f（x）=0，得x=1，是区间[-1，1]上的零点．
当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为三种情况：
①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，
令△=1-4a（-1+3a）=0，解得a＝−

1

6

或a＝

1

2

．
当a＝−

1

6

时，令f（x）=0，得x=3，不是区间[-1，1]上的零点．
当a＝

1

2

时，令f（x）=0，得x=-1，是区间[-1，1]上的零点．
②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，
令f（1）f（-1）=4a（4a-2）≤0，解得0＜a≤

1

2

．
③若函数y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，
则

a＞0 △＝−12a2+4a+1＞0 −1＜− 1 2a ＜1 f(1)≥0 f(−1)≥0.

或

a＜0 △＝−12a2+4a+1＞0 −1＜− 1 2a ＜1 f(1)≤0 f(−1)≤0.

解得a∈∅．
综上可知，实数a的取值范围为[0，

1

2

]．

当a=0时，f（x）=x-1满足条件；当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为三种情况：①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，③若函数y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，分类讨论求出满足条件的a的范围后，综合讨论结果，可得答案．

本题考点：函数的零点．

考点点评：本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．