题目

已知函数f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]在区间[1，3]上的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. （1，+∞）
B. （0，

3

5

）
C. （

1

2

，1）
D. （

1

2

，

3

5

）

提问时间：2020-07-18

答案

设g（x）=（

1

a

−2）x+1，x∈[1，3]
所以g（x）=（

1

a

−2）x+1是定义域上的单调函数，
根据题意得

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

因为函数 f(x)＝loga[(

1

a

−2)x+1]在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立
所以 loga[(

1

a

−2)x+1]＞0在区间上[1，3]恒成立
所以 loga[(

1

a

−2)x+1]＞loga1在区间上[1，3]恒成立
因为0＜a＜

3

5

所以 (

1

a

−2)x+1＜ 1在区间上[1，3]恒成立
即 (

1

a

−2)x＜0在区间上[1，3]恒成立
所以

1

a

−2＜0
解得a＞

1

2

所以

1

2

＜a＜

3

5

所以实数a的取值范围是

1

2

＜a＜

3

5

．
故选D．

设g（x）=（

1

a

−2）x+1，x∈[1，3]可得g（x）=（

1

a

−2）x+1是定义域上的单调函数，即

g(1)＞0 g(3)＞0

解得：0＜a＜

3

5

．所以 (

1

a

−2)x+1＜ 1在区间上[1，3]恒成立，
所以

1

2

＜a＜

3

5

．

本题考点：函数恒成立问题；对数函数的值域与最值．

考点点评：本题主要考查不等式的恒成立问题，解决此题的关键是准确的利用不等式的性质转化不等式，利用充分条件得出最后的结果．