题目

已知函数f(x)＝2sinx•sin(

π

3

−x)+

3

sinx•cosx+cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；
（2）如果0≤x≤

π

2

，求f（x）的取值范围．

提问时间：2020-07-18

答案

（1）f（x）=2sinx（

3

2

cosx-

1

2

sinx）+

3

sinxcosx+cos²x
=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…（6分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，x=kπ+

π

6

（k∈z）时，f（x）取得最大值2．…（10分）
（2）由0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域为[-1，2]…（14分）

（1）利用三角函数的倍角公式与辅助角公式将f（x）转化为f（x）=2sin（2x+π6），即可求得函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；（2）由0≤x≤π2可求得π6≤2x+π6≤7π6，利用正弦函数的性质即可求得f（x）的取值范围．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

考点点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，考查转化与运算能力，属于中档题．