题目

对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝

a，a−b≤1 b，a−b＞1

.设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-x²），x∈R.若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）
A. (−∞，−2]∪(−1，

3

2

)
B. (−∞，−2]∪(−1，−

3

4

)
C. (−∞，

1

4

)∪(

1

4

，+∞)
D. (−1，−

3

4

)∪[

1

4

，+∞)

提问时间：2020-07-18

答案

∵a⊗b＝

a，a−b≤1 b，a−b＞1.

，
∴函数f（x）=（x²-2）⊗（x-x²）=

x2−2，−1≤x≤ 3 2 x−x2，x＜−1或x＞ 3 2

，
由图可知，当c∈(−∞，−2]∪(−1，−

3

4

)
函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，
∴c的取值范围是 (−∞，−2]∪(−1，−

3

4

)，
故选B．

根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x²-2）⊗（x-x²）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．

本题考点：函数与方程的综合运用．

考点点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．