题目

已知函数f（x）=ax³+cx+d （a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值．
（3）证明：对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

提问时间：2020-07-18

答案

（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，
∴d=-d，即d=0 （或由f（0）=0得d=0），
∴f（x）=ax³+cx，
则f′（x）=3ax²+c，又当x=1时，f（x）取得极值-2，
∴

f(1)＝−2 f′(1)＝0

，即

a+c＝−2 3a+c＝0

，解得

a＝1 c＝−3

．
∴f（x）=x³-3x；
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=±1．
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴函数f（x）的递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；
递减区间为（-1，1）．
因此，f（x）在x=-1处取得极大值，且极大值为f（-1）=2；
（3）证明：由（2）知，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
且f（x）在区间[-1，1]上的最大值为M=f（-1）=2．最小值为m=f（1）=-2．
∴对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=4成立． 
即对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

（1）由f（x）是R上的奇函数得f（-x）=-f（x），由此得到d=0，再由当x=1时，f（x）取得极值-2，得到

f(1)＝−2 f′(1)＝0

，解方程组求得a，c的值，则函数解析式可求；
（2）把（1）中所求解析式求导，得到导函数的零点，由导函数零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调区间，继而求得极大值；
（3）由（2）中求得的函数的单调区间可得函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，求出最大值为2和最小值-2，从而得到对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，对于（3）的证明，体现了数学转化思想方法，是压轴题．