题目

椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,已知点p(0,3/2)到这个椭圆上点最远距离为根号7,
e=根号3除以2
c=√3/2*a,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4
长轴在x轴上,所以,可设椭圆方程为：x^2/a^2+4y^2/a^2=1
椭圆上的点(asinr,acosr/2)到p的距离平方
=a^2sin^2r+(acosr-3)^2/4
=-1/4*(3a^2cos^2r+6acosr-9-4a^2)
=-[3(acosr+1)^2-12-4a^2]/4
所以,acosr+1=0时,距离平方最远=(12+4a^2)/4=3+a^2
3+a^2=7
a^2=4
椭圆方程为：x^2/4+y^2=1

提问时间：2020-07-18

答案

椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,已知点p(0,3/2)到这个椭圆上点最远距离为根号7,求椭圆方程
e=√3/2,c=√3/2*a,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4
长轴在x轴上,所以,可设椭圆方程为：x^2/a^2+4y^2/a^2=1（a>0)
设椭圆上的点(a*cosθ,a/2*sinθ)到P的距离=d,
则d^2=(a*cosθ-0)^2+(a/2*sinθ-3/2)^2
=-3/4*(a*sinθ+1)^2+a^2+3.（*）
（I）若a>=1,当a*sinθ+1=0时,d^2取得最大值,[d^2]max=a^2+3,根据题意,a^2+3=(√7)^2=7,解得a^2=4,此时所求椭圆为x^2/4+y^2=1
（II）若0