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> 如果关于x的方程ax+1/x2=3在区间(0,+∞)上有且仅有一个解,那么实数a的取值范围为_....
题目
如果关于x的方程
ax+
1
x
提问时间:2020-07-18
答案
由函数解析式可得:x≠0,如果关于x的方程
ax+
1
x
2
=3
有且仅有一个正实数解,
即方程ax
3
-3x
2
+1=0有且仅有一个正实数解,
即方程a=
−
1
x
3
+
3
x
有且仅有一个正实数解
讨论函数y=
−
1
x
3
+
3
x
的单调性,得(0,1)上函数为增函数,(1,+∞)上函数为减函数且函数值大于0
作出函数y=
−
1
x
3
+
3
x
的图象与直线y=a,如图所示
根据图象可得:当a≤0或a=2时在(0,+∞)上有且仅有一个交点.
故答案为:a≤0或a=2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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