题目

已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1 的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cos角F1PF2最小值为-1/9,(1)求动点的轨
已知动点P与双曲线x^2/2-y^2/3=1 的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且cos角F1PF2最小值为-1/9,(1)求动点的轨迹方程(2)已知D(0,3),M,N在P轨迹上,且向量DM=t向量DN,求t取值范围

提问时间：2020-07-18

答案

由双曲线x^2/2-y^2/3=1 可知F1（-√5,0),F2（√5,0）
∵动点P到两个焦点F1,F2的距离之和为定值且cos角F1PF2最小值为-1/9
∴动点P的运动轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆
cos∠F1PF2=2b^2/|PF1||PF2|-1
当|PF1||PF2|最大时cos∠F1PF2最小,由椭圆的焦半径公式知当P的横坐标为0时即P在短轴上时|PF1||PF2|最大为a^2
∴2b^2/a^2-1=-1/9
又∵c=√5,a^2-b^2=c^2
可得a^2=9,b^2=4
∴动点的轨迹方程为x^2/9+y^2/4=1
(2设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=kx+3代入x^2/9+y^2/4=1得
(4+9k^2)x^2+54kx+45=0
∵Δ=54*54k^2-4*45(4+9k^2)≥0
∴k^2≥5/9.①∴x1+x2=-54k/(4+9k^2).②,x1*x2=45/(4+9k^2).③
∵向量DM=t向量DN
∴x1=tx2.④
由①②③④可得4≤(1+t)^2/t＜36/5
解得1/5＜t＜5
当k不存在时此时MN为短轴容易得t=1/5或5
综上可知t取值范围为[1/5,5]