题目

总加速度和切向加速度为什么都是速度对时间的一阶微分

提问时间：2020-07-18

答案

你说的是曲线运动问题.它不同于直线运动的是：它不但速度的大小可能时刻改变,而且方向一定时刻在改变.如果是用“数量导数”来解决带有方向的一类问题就很困难了.所以就用连方向考虑在内的导数-----即“矢量导数”.
方向导数不同于数量导数,前者用的是矢量,以下写出已导出的加速度（矢量）的表达式（由于我不会打矢量,表达式中的矢量只好用文字加注）
a(矢量)=(dv/dt)τ(矢量)+(v^2/ρ)n(矢量)
可见,加速度a(矢量)本身就分为两部分
第一项 (dv/dt)τ(矢量）------反映了速度在切向上的投影v变化的快慢,而它的方向是沿轨迹的切线.即切线加速度.对于匀速曲线运动(dv/dt)=0 就没有这一项.
第二项 (v^2/ρ)n(矢量) ------ 反映了τ(矢量）本身方向变化的快慢,即法向加速度.只要是曲线运动就有这一项.当曲率半径ρ为无穷大时就是直线运动.
可见,总加速度和切向加速度是不相等的.所以说,不能用数量导数的观点来推理矢量导数的问题.如果你感兴趣的话,你可以看一看高等数学中的“矢量导数”、理论力学中的“自然轴系”.不知道我说没说明白,有想法再追问.