题目

一个自然数减去57后是一个完全平方数,这个自然数加上123后任是一个完全平方数,试求这个自然数
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提问时间：2020-07-18

答案

设小的平方数为B²,大的平方数为A²,A > B ≥0
则
A² - B² = (A + B)*(A - B) = 123 + 57 = 180 = 45×2×2
因为A + B、A - B必然是同奇偶的,显然此时A + B、A - B只能同为偶数.A +B > A - B
则把180的两个因数2分别给A + B、A - B之后,再拆分45,得到方程组：
①45 = 1×45
A + B = 2*45
A - B = 2*1
解得A = 46、B = 44
自然数 = 44² + 57 = 46² - 123 = 1993
②45 = 3×15
A + B = 2*15
A - B = 2*3
解得A = 18、B = 12
自然数 = 12² + 57 = 18² - 123 = 201
③45 = 5×9
A + B = 2*9
A - B = 2*5
解得A = 14、B = 4
自然数 = 4² + 57 = 14² - 123 = 73
综上,这个自然数可以是73、201、1993