题目

已知椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,椭圆上的点到焦点最小距离为根号2减1,（1不再根号里）离心率为2分之根2
1：求椭圆方程2：过点（1,0）作直线l交椭圆于P,Q两点,试问在X轴上是否存在一个定点M,使向量MP乘向量MQ为定值?若存在求出点M的坐标,若不存在,请说明理由

提问时间：2020-07-17

答案

（Ⅰ） a-c=√2-1,e=c/a=√2/2
a=√2,c=1,b=1,
∴ x2/2+y2=1
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时,设：x=ky+1
x2+2y2=2,x=ky+1,
（k2+2）y2+2ky-1=0
∴ y1+y2=-2k/k2+2,y1•y2=-1/k2+2,
设M（m,0）,使得 MP•MQ为定值
MP•MQ=(x1-m,y1)•(x2-m,y2)
=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=[（2m-3)(k2+2)+(5-4m)/﹙K2+2﹚]+(1-m)2
当且仅当5-4m=0,m=5／4时,MP•MQ=-7/16（为定值）．
M(5/4,0)
当直线l的倾斜角α=0时,
P(-√2,0),Q(√2,0)
MP=(-√2-5/4,0),MQ=(√2-5/4,0)
MP•MQ=(-√2-5/4)•(√2-5/4)=-7/16
∴存在定点 M(5/4,0)使得对于经过（1,0）点的任意一条直线l均有 MP•MQ=-7/16（恒为定值）．