题目

设f(x)连续,d/dx∫上标x下标0tf(x^2-t^2)dt=?

提问时间：2020-07-16

答案

找你这道题找得我好辛苦啊!
解法一：换元法!
令u＝x∧2－t∧2,则t＝√(x∧2－u)
当t＝0时,u＝x∧2,当t＝x时,u＝0.
且dt＝(-1)/2√(x∧2－u)
∴原式＝∫f（u）＊√(x∧2－u)*(-1)/2√(x∧2－u)du＝－1/2∫f（u）du（上限0下限x∧2）＝1/2∫f（u）du（上限x∧2下限0）
＝1/2f（x∧2）*2x
＝x＊f(x∧2).
解法二：
令u∧2＝x∧2－t∧2
则2udu＝－2tdt,∴dt＝－u/tdu,当t＝0时,u＝x,当t＝x时,u＝0
∴原式＝∫t*f（u∧2）*(-u)/tdu
＝∫f（u∧2）＊(-u)du（上限0下限x）
＝∫u*f（u∧2）du（上限x下限0）
＝x*f（x∧2）.