题目
中值定理证明
函数f(x)在【0,1】连续,在(0,1)可导,f(0)=0,且在(0,1)内f(x)!=0.证明至少存在一点ξ∈(0,1)使得
3f'(ξ)/f(ξ) = 4f'(1-ξ)/f(1-ξ)
函数f(x)在【0,1】连续,在(0,1)可导,f(0)=0,且在(0,1)内f(x)!=0.证明至少存在一点ξ∈(0,1)使得
3f'(ξ)/f(ξ) = 4f'(1-ξ)/f(1-ξ)
提问时间:2020-07-13
答案
设g(x) = [f(x)]^3[f(1-x)]^4
则,g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.
g(0) = [f(0)]^3[f(1)]^4 = 0,
g(1) = [f(1)]^3[f(0)]^4 = 0 = g(0).
g'(x) = 3[f(x)]^2f'(x)[f(1-x)]^4 + 4[f(x)]^3[f(1-x)]^3f'(1-x)(-1)
= [f(x)]^2[f(1-x)]^3{3f'(x)f(1-x) - 4f(x)f'(1-x)}
由罗尔中值定理,至少存在一点ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=[f(ξ)]^2[f(1-ξ)]^3{3f'(ξ)f(1-ξ) - 4f(ξ)f'(1-ξ)} = 0,
但由于,在(0,1)内f(x)!=0.
因此,[f(ξ)]^2[f(1-ξ)]^3 不等于0,
故,必有,
3f'(ξ)f(1-ξ) - 4f(ξ)f'(1-ξ) = 0,
成立.
也就是,
3f'(ξ)f(1-ξ) = 4f(ξ)f'(1-ξ),
因此,有
3f'(ξ)/f(ξ) = 4f'(1-ξ)/f(1-ξ).
所以命题得证.
则,g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.
g(0) = [f(0)]^3[f(1)]^4 = 0,
g(1) = [f(1)]^3[f(0)]^4 = 0 = g(0).
g'(x) = 3[f(x)]^2f'(x)[f(1-x)]^4 + 4[f(x)]^3[f(1-x)]^3f'(1-x)(-1)
= [f(x)]^2[f(1-x)]^3{3f'(x)f(1-x) - 4f(x)f'(1-x)}
由罗尔中值定理,至少存在一点ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=[f(ξ)]^2[f(1-ξ)]^3{3f'(ξ)f(1-ξ) - 4f(ξ)f'(1-ξ)} = 0,
但由于,在(0,1)内f(x)!=0.
因此,[f(ξ)]^2[f(1-ξ)]^3 不等于0,
故,必有,
3f'(ξ)f(1-ξ) - 4f(ξ)f'(1-ξ) = 0,
成立.
也就是,
3f'(ξ)f(1-ξ) = 4f(ξ)f'(1-ξ),
因此,有
3f'(ξ)/f(ξ) = 4f'(1-ξ)/f(1-ξ).
所以命题得证.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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