题目

已知椭圆x平方/36+y平方/9=1,求以点P（4,2）为中点的弦所在的直线方程.

提问时间：2020-07-13

答案

【这么晚还在奋斗,高中生真是辛苦!】
设弦所在直线的斜率为k（很显然,我们可以看出不会斜率不存在）
则弦所在直线方程为y-2=k(x-4)
将直线方程和x²/36+y²/9=1联立,【就是去求直线和椭圆的交点坐标.】
将直线方程化为y=kx+2-4k代入椭圆方程,有9x²+36(kx+2-4k)²=324,
即(36k²+9)x²+72k(2-4k)x+[36(2-4k)²-324]=0,即(4k²+1)x²+8k(2-4k)x+[4(2-4k)²-36]=0,【接下来我们需要的是利用条件确定k,而不是真的去求弦的两端点坐标.】
由△=……＞0【这一步事实上是成立的,但按规矩要写,是做下去的“基础”】,
所以直线和椭圆有两交点,由于弦以（4,2）为中点,所以x1+x2=4,即-8k(2-4k)/(4k²+1)=4,
32k²-16k=16k²,4k²+4k+1=0,k=-1/2
弦方程为y=(-1/2)x+2-4(-1/2),即y=(-1/2)x+4.