题目

已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e=

3

，焦距为2

3

．
（1）求该双曲线方程．
（2）是否定存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

提问时间：2020-07-13

答案

（1）设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b>0）
由离心率e=

3

，焦距为2

3

，则c=

3

，a=1，b²=c²-a²=2，
则双曲线方程为：x²-

y2

2

=1；
（2）假设存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），
A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
相减可得，2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由P为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则k=

y1-y2

x1-x2

=2，
即有直线AB的方程：y-1=2（x-1），即有y=2x-1，
代入双曲线方程2x²-y²=2，可得，2x²-4x+3=0，
检验判别式为16-24<0，方程无解．
故不存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．

（1）设出双曲线方程，由条件可得c，再由离心率公式．可得a，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到双曲线方程；
（2）假设存在，设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，检验判别式即可判断．

本题考点：双曲线的简单性质

考点点评：本题考查双曲线的方程、性质和运用，考查点差法求中点问题，注意检验判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题．