题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝

3

，点F是PD的中点，点E在CD上移动．

（1）求三棱锥E-PAB体积；
（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（3）求证：PE⊥AF．

提问时间：2020-07-11

答案

（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VE−PAB＝VP−ABE＝

1

3

S△ABE•PA＝

1

3

×

1

2

×1×

3

×1＝

3

6

．
（2）当点E为BC的中点时，EF||平面PAC．
理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，
∴EF||PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC
（3）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD，
点F是PD的中点∴AF⊥PD，
又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．

（1）求出底面ABE的面积，求出高PA，即可求三棱锥E-PAB体积；
（2）点E为CD的中点，推出EF||PC，证明EF∥平面PAC即可；
（3）证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD，PD，即可证明AF⊥平面PDC，从而证明PE⊥AF．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．