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题目
已知△ABC的顶点B(-1,-3),AB边上的高CE所在直线的方程为x-3y-1=0,BC边上中线AD所在直线的方程为8x+9y-3=0.求直线AC的方程.

提问时间:2020-06-30

答案
∵CE⊥AB,且直线CE的斜率为
1
3

∴直线AB的斜率k=
-1
1
3
=-3,
∴直线AB的方程为y+3=-3(x+1)即3x+y+6=0…(3分)
3x+y+6=0
8x+9y-3=0
,解之得
x=-3
y=3

∴A点的坐标为(-3,3)…(7分)
设D(a,b),可得C(2a+1,2b+3)
8a+9b-3=0
2a+1-3(2b+3)-1=0
,解之得
a=
3
2
b=-1

因此D(
3
2
,-1),从而可得C(4,1)…(12分)
∴直线AC的方程为:
y-3
1-3
=
x+3
4+3

化简整理,得2x+7y-15=0,即为直线AC的方程.…(14分)
根据垂直关系算出直线CE的斜率,利用点斜式给出直线AB方程并整理,得AB方程为3x+y+6=0.由AD方程与AB方程联解,可得A(-3,3),结合中点坐标公式解方程组算出C(4,1).最后用直线方程的两点式列式,整理即得直线AC的方程.

两条直线的交点坐标;直线的一般式方程.

本题给出三角形的中线和高所在直线方程,求边AC所在直线的方程.着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和中点坐标公式等知识,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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