题目
已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(
)=1,如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y).
(1)求f(1),f(2);
(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.
1 |
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(1)求f(1),f(2);
(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.
提问时间:2020-06-28
答案
解(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0
再令x=2,y=
,
∴f(1)=f(2)+f(
)=0,
∴f(2)=-1
(2)∵对于0<x<y,都有f(x)>f(y).
∴函数在(0,+∞)减函数,
令x=y=2,
∴令x=y=2得f(4)=f(2)+f(2)=-2,
∵f(-x)+f(3-x)≥-2.
∴f(x)+f(x-3)≥f(4),
∴f[x(x-3)]≥f(4),
∴
,
解得-1≤x<0
∴原不等式的解集为[-1,0)
∴令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0
再令x=2,y=
1 |
2 |
∴f(1)=f(2)+f(
1 |
2 |
∴f(2)=-1
(2)∵对于0<x<y,都有f(x)>f(y).
∴函数在(0,+∞)减函数,
令x=y=2,
∴令x=y=2得f(4)=f(2)+f(2)=-2,
∵f(-x)+f(3-x)≥-2.
∴f(x)+f(x-3)≥f(4),
∴f[x(x-3)]≥f(4),
∴
|
解得-1≤x<0
∴原不等式的解集为[-1,0)
(1)令x=y=1易得f(1)=0;再令x=2,y=
,可得f(2)值;
(2)先求出f(4)=-2,由f(-x)+f(3-x)≥-2,得到f[x(x-3)]≥f(4),再由函数f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,能求出原不等式的解集.
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(2)先求出f(4)=-2,由f(-x)+f(3-x)≥-2,得到f[x(x-3)]≥f(4),再由函数f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,能求出原不等式的解集.
抽象函数及其应用.
本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法及函数单调性的应用,突出转化思想的考查,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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