题目

记数列｛an｝的前n项和Sn,且Sn=c/2*n^2+(1-c/2)n（c为常数,n属于N*）,且a1,a2,a5成公比不等于1的等比
数列
（1）求c的值
（2）设bn=1/anan+1,求数列｛bn｝的前n项和Tn

提问时间：2020-06-28

答案

(1)
n=1时,a1=S1=(c/2)×1²+(1- c/2)×1=1
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=(c/2)×n²+(1- c/2)n-[(c/2)×(n-1)²+(1- c/2)×(n-1)]=nc-c+1
n=1时,a1=c-c+1=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=nc-c+1
a1、a2、a5成等比,则a2²=a1·a5
(2c-c+1)²=1·(5c-c+1)
整理,得c²-2c=0
c(c-2)=0
c=0或c=2
c=0时,an=1 a1=a2=a5,公比为1,与已知矛盾,舍去
c=2
(2)
c=2代入{an}通项公式
an=2n-2+1=2n-1
bn=1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)(2(n+1)-1)]=(1/2)[1/(2n-1) -1/(2(n+1)-1)]
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2(n+1)-1)]
=(1/2)[1- 1/(2n+1)]
=n/(2n+1)