题目

用数学归纳法证明 1+2+3+4+...+2的n次方=2的2n-1次方+2的n-1次方.

提问时间：2020-06-28

答案

证明（1）当n=1时 左式=1+2^1=3 右式=2^(2×1-1)+2^(1-1)=2+1=3
此时命题成立
（2）假设当n=k时命题成立 即
1+2+3+……+2^k=2^(2k-1)+2^(k-1)
那么当n=k+1时
1+2+3+……+2^k+[(2^k+1)+(2^k+2)+……+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]
=2^(2k-1)+2^(k-1)+[(2^k+1)+(2^k+2)+……+(2^k+2^k-1)+(2^k+2^k)]
=2^(2k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+(1+2+3+……+2^k)
=2^(2k-1)+2^(k-1)+2^k•2^k+2^(2k-1)+2^(k-1)
=2^(2k)+2^(k)+2^2k=2^(2k+1)+2^k
即此时命题成立 由数学归纳法知原命题成立