题目

已知圆M：x2+（y-4）2=4,直线l的方程为x-2y=0,点P是直线l上一动点,过点P作圆的切线PA、PB,切点为A、B
求证：直线AB必过定点,并求出该定点的坐标

提问时间：2020-06-25

答案

设 P（a,b）,则 a-2b=0 ,
过 P 向圆引两条切线,切点分别为 A、B ,则直线 AB 的方程为
ax+(b-4)(y-4)=4 ,（这有现成的公式,其实就是当 P 在圆上时的切线方程）
化简得 ax+(b-4)y-4b+12=0 .
分离变量得 a*x+b*(y-4)-4(y-4)-4=0 ,
令 y-4= -2x ,且 -4(y-4)-4=0 ,解得 x= 1/2 ,y=3 ,
因此直线AB恒过定点（1/2,3）.