题目

设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X²在（0，4）内的概率分布密度f_Y（y）=______．

提问时间：2020-06-25

答案

∵随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，
∴X的概率密度函数：fX(x)＝

1 2 ，0＜x＜2 0 其它

，
从而Y=X²的分布函数：
FY(y)＝P(Y＜y)＝P(X2＜y)．
①当y≤0时，F_Y（y）=P（∅）=0，
②当0＜y＜4时，y）=

∫

y 0

1

2

dy＝

y

2

，
③当y≥4时，F_Y（y）=1，
∴Y=X²在（0，4）内的概率分布密度：
f_Y（y）=

dFY(y)

dy

＝(

y

2

)′＝

1

4 y

．

首先将随机变量X的分布函数写出来，然后根据分布函数的定义将Y=X²在（0，4）内概率分布密度f_Y（y）求出来即可．

本题考点：分布函数的性质；二维均匀分布的概率密度．

考点点评：此题考查随机变量函数的分布函数的求法，常常需要先建立两个随机变量的分布函数之间的关系，再求解．