题目

若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

Sn

S2n

为常数，则称该数列为S数列．
（Ⅰ）判断a_n=4n-2是否为S数列？并说明理由；
（Ⅱ）若首项为a₁的等差数列{a_n}（a_n不为常数）为S数列，试求出其通项公式．

提问时间：2020-06-25

答案

（Ⅰ）由a_n=4n-2，得a₁=2，d=4，

Sn

S2n

＝

2n+ 1 2 n(n−1)4

2n•2+ 1 2 •2n(2n−1)4

＝

1

4

，
所以它为S数列；
（Ⅱ）设等差数列{a_n}，公差为d，则

Sn

S2n

＝

a1n+ 1 2 n(n−1)d

2a1n+ 1 2 •2n(2n−1)d

＝k（常数），
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd，化简得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①，
由于①对任意正整数n均成立，
则

d(4k−1)＝0 (2k−1)(2a1−d)＝0

解得：

d＝2a1≠0 k＝ 1 4 .

，
故存在符合条件的等差数列，其通项公式为：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0．

（Ⅰ）由等差数列的通项公式找出等差数列的首项和公差，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，求出

Sn

S2n

等于

1

4

为常数，所以得到该数列为S数列；
（Ⅱ）设此数列的公差为d，根据首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，因为此数列为S数列，得到

Sn

S2n

等于常数，设比值等于k，去分母化简后得到关于n的一个多项式等于0，令其系数和常数项等于0即可求出k和d值，根据首项和公差d写出该数列的通项公式即可．

本题考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．

考点点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，掌握题中的新定义并会利用新定义化简求值，是一道综合题．