题目

已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2
X1、X2、X3、...、Xn是正数

提问时间：2020-06-25

答案

解答如下:
证法一：均值不等式.
X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加,得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn,即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2,得证.
证法二：柯西不等式.
(a1^2+a2^2+.+an^2)×(b1^2+b2^2+.+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+.+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号（X1+X2）,a2=X2/根号(X2+X3),……,an=Xn/根号(Xn+X1),b1=根号（X1+X2）,b2=根号(X2+X3),……,bn=根号(Xn+X1),再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证.