题目

用数学归纳法证明：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn．

提问时间：2020-06-25

答案

证明：（1）当n=1时，左边=-1，右边=-1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即：-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^kk；
当n=k+1时，等式左边=-1+3-5+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^kk+（-1）^k+1（2k+1）
=（-1）^k+1．（-k+2k+1）
=（-1）^k+1（k+1）．
这就是说，n=k+1时，等式成立．
综上（1）（2）可知：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn对于任意的正整数成立．