题目

设函数f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，其中a＞0．曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（1）确定b，c的值；
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-06-25

答案

（1）因为函数f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，所以导数f'（x）=x²-ax+b，
又因为曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．
（2）由（1）知f（x）=

1

3

x3−

a

2

x2+1，f'（x）=x²-ax，
设切点为（x₀，y₀），
则y₀=f（x₀）=

1

3

x03−

a

2

x02+1，
切线的斜率为k=f'（x₀）=x02−ax0
所以切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
因为切线经过点（0，2），所以2-y₀=-kx₀，
即2-（

1

3

x03−

a

2

x02+1）=−(x02−ax0)x0
化简得：4x03−3ax02+6＝0①，
因为过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，
所以①有三个不同的实根．
即函数g（x）=4x³-3ax²+6有三个不同的零点．
导数g'（x）=12x²-6ax=0得x=0，或x=

a

2

（a＞0）
可知只要极小值g（

a

2

）＜0即4×

a3

8

−3a•

a2

4

+6＜0，
所以a＞2

3	3

．
故实数a的取值范围是(2

3	3

，+∞)

（1）先求f（x）的导数f'（x），再求f（0），由题意知f（0）=1，f'（0）=0，从而求出b，c的值；
（2）首先设出切点，求出切线的斜率，写出切线方程，代入点（0，2），得到关于x₀的三次方程，且该方程有三个不同的实根，构造函数，运用导数求出极大值，令其值小于0，解出a的取值范围，注意a＞0．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．

考点点评：本题主要考查导数的概念及应用：求极值，解题中必须注意过某点的切线与在某点处的切线的区别，本题就是一个很好的例子，同时考查了字母的运算能力，是一道中档题．