题目

设a，b，c都是整数，ac≠0，且方程ax²+bx+c=0有一个正根x=t，证明：方程cx²+bx+a=0必有一根t′，使得t+t′≥2．

提问时间：2020-06-25

答案

∵a≠0，
∴cx²+bx+a=0 的根不等于0，
两边同时除以x²得，a（

1

x

）²+b•

1

x

+c=0①，
∵ax²+bx+c=0 有正根x=t，
∴①式有根

1

x

=t，
∴t'=

1

t

，
∴t+t'=t+

1

t

=（

t

-

1

t

）²+2≥2．

先根据cx²+bx+a=0 的根不等于0，两边同时除以x²可得出

1

x

=t，故可得出t′与t的关系，再代入t+t′即可得出结论．

本题考点：一元二次方程根的分布．

考点点评：本题考查了一元二次方程根的分布，将原式转化为a（

1

x

）²+b•

1

x

+c=0是解题的关键．