题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，a_n+1=S_n+n+1，n∈N^*，
（I）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

提问时间：2020-06-25

答案

（Ⅰ）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，a_n+1=S_n+n+1，n∈N^*①，
则：a_n=S_n-1+n②
则：①-②得：a_n+1=2a_n+1
整理得：a_n+1+1=2（a_n+1）
所以：

an+1+1

an+1

=2（常数），
由于：a₁=1，所以a₁+1≠0
则：数列{a_n+1}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到：an+1=(a1+1)2n-1=2n
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（a₁+1）+2（a₂+1）+…+n（a_n+1）-（1+2+…+n）
=1•2+2•22+…+n•2n-

n(n+1)

2

设Tn=1•2+2•22+…+n•2n①
则：2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
所以：①-②得：
Tn=2n+1-2-n•2n+1=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
所以：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

=(n-1)2n+1-

n2+n-4

2