题目

第二中值定理能用积分第一中值定理证明么?
第二中值定理：设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b],使得
∫(a,b) f(x)g(x)dx
= g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx
积分第一中值定理：若f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使
∫(a,b) f(x)dx = f(ξ)(b - a)
我大致这样尝试证明（没有纠细节）：设f(x)dx=G(x)
由第一中值定理得 在[a,b]中存在e 使
∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)
而要证的部分（第二中值定理等式右边) 要证ξ存在
因为g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(ξ)g(a)-G(ξ)g(b)
故 因为存在e使∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)成立
只要ξ=e 即有第二中值定理等式成立 故ξ存在 得证
请各路大神指教啊

提问时间：2020-06-24

答案