题目

函数f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零点，则实数m的取值范围是（　　）
A. [-2，2]
B. [0，2]
C. [-2，0]
D. 以上都不对

提问时间：2020-06-24

答案

由函数f（x）=x³-3x-m，
得：f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
当x∈（0，1）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上为减函数，
当x∈（1，2）时，f^′（x）＞0，函数f（x）在（1，2）上为增函数，
所以函数f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有极小值，也就是最小值，最小值是f（1）=-2-m，
f（x）在[0，2]内的最大值是f（0）=-m和f（2）=2-m中的较大者，是f（2）=2-m，
要使得函数f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零点，
则：f（1）≤0且f（2）≥0
即

−2−m≤0 2−m≥0

，解得：-2≤m≤2．
所以，函数f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零点的实数m的取值范围是[-2，2]．
故选A．

通过求导判断函数f（x）=x³-3x-m在（0，2）上的单调性并求出极值，从而得到函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值，要使函数f（x）=x³-3x-m在[0，2]上有零点，只需其最小值小于等于0，最大值大于等于0即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．

考点点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，考查了函数的零点，解答此题的关键是把函数在闭区间上有零点转化为函数在闭区间上的最值的符号问题，此题是中档题．