题目
设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数.(1)求a的值.(2)证明f(x)在(0,+∞)上的单调性
提问时间:2020-06-23
答案
1、f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,所以对于任意x,都有f(-x)=f(x)
所以f(-1)=f(1)
即(e^-1)/a+a/e=e/a+a/(e^-1)
通过移项得,e/a-(e^-1)/a=a/(e^-1)-a/e
解得a=1或-1
因为a>0
所以a=12、a=1
f(x)=e^x+1/e^x
x1,x2∈(0,+∞),x1<x2
f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^x1-(e^x2+1/e^x2)=e^x1-e^x2+1/e^x1-1/e^x2=(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2
x1,x2∈(0,+∞),所以e^x1e^x2-1>0,e^x1-e^x2<0
所以(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2<0
所以f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数
所以f(-1)=f(1)
即(e^-1)/a+a/e=e/a+a/(e^-1)
通过移项得,e/a-(e^-1)/a=a/(e^-1)-a/e
解得a=1或-1
因为a>0
所以a=12、a=1
f(x)=e^x+1/e^x
x1,x2∈(0,+∞),x1<x2
f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^x1-(e^x2+1/e^x2)=e^x1-e^x2+1/e^x1-1/e^x2=(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2
x1,x2∈(0,+∞),所以e^x1e^x2-1>0,e^x1-e^x2<0
所以(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2<0
所以f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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