题目

设数列an中的前n项的和为Sn,并且a1=1,Sn+1=4an+2,设bn=an比2的n次方,求证数列bn为等差数列

提问时间：2020-06-21

答案

因为S（n+1）=4an+2 一式
n>=2时,Sn=4a(n-1)+2 二式
所以一式减二式,得 a(n+1)=4an-4a(n-1)
（目标是a(n+1)+m*an=K(an+m*a(n-1)),所以构建等比数列如下）
a(n+1)=(K-m)an=K(an+m*a(n-1))
可得K-m=4 m*k=-4
所以K=2,m=-2
所以a(n+1)-2an=2*(an-2a(n-1))
所以an-2*a(n-1)是一个以2为公比的等比数列
则an-2*a(n-1)=(a2-2*a1)*2^(n-2)
当n=1时,a1+a2=4(a1)+2
所以a2=5
an-2*a(n-1)=3*2^(n-2) 同除以2
得an/2^n-2*a(n-1)/2^n=(3*2^(n-2))/2^n=3/4
设bn=an比2的n次方
即bn-b(n-1)=3/4
所以数列bn是一个以3/4为公差的等差数列
即得证