题目
设函数f(x)=x3+3x+1,若0≤θ≤Л/2时,不等式f(msinθ)+f(1-m)>2恒成立,则实数m的取值范围是
提问时间:2020-06-19
答案
∵f(x)=x3+3x+1,∴f(x)-1=x3+3x.
设g(x)=f(x)-1=x3+3x.∴g’(x)=3x^2+3>0,
则g(x)是递增的奇函数.
由f(msinθ)+f(1-m)>2,
∴f(msinθ)-1>1-f(1-m),即g(msinθ)>g(m-1)
∴msinθ>m-1,∴1>m(1-sinθ).
当θ=Л/2时,不等式恒成立.
当0≤θ<Л/2时,m<1/(1-sinθ),
∵1/(1-sinθ)的最小值为1,
∴m<1.
设g(x)=f(x)-1=x3+3x.∴g’(x)=3x^2+3>0,
则g(x)是递增的奇函数.
由f(msinθ)+f(1-m)>2,
∴f(msinθ)-1>1-f(1-m),即g(msinθ)>g(m-1)
∴msinθ>m-1,∴1>m(1-sinθ).
当θ=Л/2时,不等式恒成立.
当0≤θ<Л/2时,m<1/(1-sinθ),
∵1/(1-sinθ)的最小值为1,
∴m<1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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