题目
已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
提问时间:2020-06-19
答案
第一个问题:
∵f(x)=(1/2)x^2-alnx, ∴f′(x)=x-a/x=(x^2-a)/x.
令f′(x)=(x^2-a)/x>0,得:x^2-a>0、x>0;或x^2-a<0、x<0.
∴x^2>a、x>0;或x^2<a、x<0.
考虑到函数的定义域,需要x>0. ∴只有:x^2>a、x>0.
考查x^2>a、x>0,当a≦0时,x>0. 当a>0时,x>√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是(0,+∞)、没有减区间.
当a>0时,函数的增区间是(√a,+∞)、函数的减区间是(0,√a).
第二个问题:
令F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3.
求导数,得:F′(x)=x+1/x-2x^2、 F″(x)=1-1/x^2-4x.
显然,当x>1时,F″(x)=1-1/x^2-4x<0,
∴当x>1时,F′(x)=x+1/x-2x^2 是减函数,而F′(1)=1+1-2=0,
∴当x>1时,F′(x)<0, ∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 是减函数,
又F(1)=1/2+0-(2/3)=3/6-4/6=-1/6<0,
∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 <0,
∴(1/2)x^2+lnx<(2/3)x^3 .
∵f(x)=(1/2)x^2-alnx, ∴f′(x)=x-a/x=(x^2-a)/x.
令f′(x)=(x^2-a)/x>0,得:x^2-a>0、x>0;或x^2-a<0、x<0.
∴x^2>a、x>0;或x^2<a、x<0.
考虑到函数的定义域,需要x>0. ∴只有:x^2>a、x>0.
考查x^2>a、x>0,当a≦0时,x>0. 当a>0时,x>√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是(0,+∞)、没有减区间.
当a>0时,函数的增区间是(√a,+∞)、函数的减区间是(0,√a).
第二个问题:
令F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3.
求导数,得:F′(x)=x+1/x-2x^2、 F″(x)=1-1/x^2-4x.
显然,当x>1时,F″(x)=1-1/x^2-4x<0,
∴当x>1时,F′(x)=x+1/x-2x^2 是减函数,而F′(1)=1+1-2=0,
∴当x>1时,F′(x)<0, ∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 是减函数,
又F(1)=1/2+0-(2/3)=3/6-4/6=-1/6<0,
∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 <0,
∴(1/2)x^2+lnx<(2/3)x^3 .
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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