题目

数列{a_n}的前n项的和S_n=2a_n-1（n∈N^*），数列{b_n}满足：b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项的和T_n．

提问时间：2020-06-18

答案

（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），
∴a_n+1=2a_n，
又a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0，
因此数列{a_n}为公比是2、首项是1的等比数列；
（2）易得bn+1−bn＝2n−1，∴bn−bn−1＝2n−2，bn−1−bn−2＝2n−3，…，b2−b1＝20＝1，
以上各式相加得，bn+1−b1＝1+2+3+…+2n−1=2ⁿ-1，
∴bn+1＝2n+2，∴bn＝2n−1+2，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n+

1−2n

1−2

=2ⁿ+2n-1（n∈N*）．