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题目
月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6,地球半径是月球半径的4倍,若已知人造地球卫星的第一...
月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6,地球半径是月球半径的4倍,若已知人造地球卫星的第一宇宙速度为
v1,求登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度.

提问时间:2020-06-16

答案
设:地球的重力加速度是g,月球的半径是r.
则:月球的重力加速度是g/6,地球的半径是4r.
同时设:登月舱质量是m,地球质量是M地,月球质量是M月,万有引力常数是G,绕月飞行速度是v.
1、在地球时:
G(M地)m/[(4r)^2]=[m(v1)^2]/(4r)
有:G=[4r(v1)^2]/(M地)
2、在月球时:
G(M月)m/(r^2)=(mv^2)/r
有:G=r(v^2)/(M月)
而G为常数,因此有:[4r(v1)^2]/(M地)=r(v^2)/(M月)
整理:v=2(v1)[(M月)/(M地)]
G(M地)m/[(4r)^2]=mg
G(M月)m/(r^2)=m(g/6)
解得:M地=(16gr^2)/G,M月=(gr^2)/(6G)
因此:
v=2(v1)[(M月)/(M地)]
v=2(v1)[(gr^2)/(6G)]/[(16gr^2)/G]
v=16(v1)/3
v=(16/3)(v1)
答:登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度是(16/3)v1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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