题目

一个四位数拔abcd且拔ab*拔cd是拔abcd的因数.求拔abcd=?

提问时间：2020-06-15

答案

设两位数ab＝x,两位数cd＝y,则四位数abcd＝100x＋y,并设100x＋y＝kxy
显然10≤x,y＜100
(kx－1)y＝100x
∴y＝100x/(kx－1)
∴ky＝100kx/(kx－1)＝[(100kx－100)＋100]/(kx－1)＝100＋100/(kx－1)
由于ky正整数,因此100/(kx－1)是正整数,从而kx－1是100的因数
当k≥6时,100＞x＞10,kx－1＞50,从而kx－1＝100,kx＝101,但101是质数,此时无满足条件的x值
当k＝1时,y＝100＋100/(x－1)＞100,不合题意
当k＝2时,y＝50＋50/(2x－1),此时2x－1是50的两位数奇数因数,即2x－1＝25,得x＝13,y＝52,所求的四位数为1352
当k＝3时,3y＝100＋100/(3x－1),此时3x－1≥30－1＝29,且是100的因数,即3x－1＝50,得x＝17,y＝34,所求的四位数为1734
当k＝4时,y＝25＋25/(4x－1),由于4x－1≥40－1＝39,因而25/(4x－1)不可能是整数,此时无解
当k＝5时,y＝20＋20/(5x－1),由于5x－1≥50－1＝49,因而20/(5x－1)不可能是整数,此时无解
综上所述,所求的四位数有两个：1352或1734