题目
已知点F1,F2分别是椭圆x²/2+y²=1的左、右焦点,过点F1做倾斜角为π/4的直线l
求AB的长,以及△F2AB的周长与面积
求AB的长,以及△F2AB的周长与面积
提问时间:2020-06-15
答案
a=√2,b=1,c=1,离心率e=c/a=√2/2,
AB的倾斜角θ=π/4,
根据焦点弦公式,
|AB|=(2b^2/a)/[1-(ecos45°)^2]
=(2*1/√2)/[1-(√2/2)^2*(√2/2)^2]
=4√2/3.
△F2AB周长=|AB|+|BF2|+|AF2|
=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=(AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=2a+2a=4a=4√2.
从A作AP⊥X轴,从B作BQ⊥X轴,垂足为P、Q,
|AP|=|AF1|*cos45°,
|BQ|=|BF1|*cos45°,
|AP|+|BQ|=cos45°*|AB|=(4√2/3)*√2/2=4/3,
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|AP|/2+|F1F2|*|BQ|/2
=|F1F2|*|AB|/2
=2*(4/3)/2
=4/3,
∴|AB|=4/3.
△F2AB周长=4√2,
S△F2AB=4/3.
AB的倾斜角θ=π/4,
根据焦点弦公式,
|AB|=(2b^2/a)/[1-(ecos45°)^2]
=(2*1/√2)/[1-(√2/2)^2*(√2/2)^2]
=4√2/3.
△F2AB周长=|AB|+|BF2|+|AF2|
=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=(AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=2a+2a=4a=4√2.
从A作AP⊥X轴,从B作BQ⊥X轴,垂足为P、Q,
|AP|=|AF1|*cos45°,
|BQ|=|BF1|*cos45°,
|AP|+|BQ|=cos45°*|AB|=(4√2/3)*√2/2=4/3,
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|AP|/2+|F1F2|*|BQ|/2
=|F1F2|*|AB|/2
=2*(4/3)/2
=4/3,
∴|AB|=4/3.
△F2AB周长=4√2,
S△F2AB=4/3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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