题目

如何用有限覆盖定理证明柯西定理

提问时间：2020-06-13

答案

首先,用定义证明Cauchy序列一定有界,然后就可以设{Xn}包含于闭区间[a,b].
假定结论不成立,那么[a,b]中任何一点u都不是{Xn}的极限,
若u的任何邻域都包含{Xn}的无限项,用Cauchy序列的定义可以证明u就是{Xn}的极限,矛盾.所以一定存在u的邻域(u-t,u+t)使其只包含{Xn}的有限项.将u取遍[a,b]就得到[a,b]的一个开覆盖,必有有限子覆盖,这样[a,b]只包含{Xn}的有限项,矛盾.