题目

设函数f（x）在[0，1]上可导，且满足f（1）=0，求证：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=-

f(ξ)

ξ

提问时间：2020-06-13

答案

证明：令F（x）=xf（x），由题意F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，
且F（0）=0，F（1）=0，
由罗尔定理可知在（0，1）内至少存在一点ξ，使F′（ξ）=0，
即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，
所以，在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′(ξ)＝−

f(ξ)

ξ

．