题目

求高手教我怎么用柯西中值定理
百度百科上的看了不是很理解 很能不能讲详细点 最好有解极值问题的例题

提问时间：2020-06-13

答案

虽然说Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广,可是你观察它们的最常见证明方法可以发现,它们都可以通过Rolle定理独立证明,不过是构造的辅助函数不同而已.而事实上,用Lagrange中值定理显然可以推出Rolle定理.可以归结出这样的推导关系：Rolle定理→Cauchy中值定理（Lagrange中值定理）→Lagrange中值定理→Rolle定理.因此它们在逻辑上是等价的,不过用于解决问题时的简繁程度不同.你要相信,所有用Cauchy中值定理可以解决的问题,用Rolle定理也可以解决,不过思路可能复杂一些.
如,设b＞a＞0,f(x)在[a,b]连续、(a,b)可导,证明有c∈(a,b),使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c).
证：参考Cauchy中值定理的标准形式,令g(x)=x^2即可.注意这里b＞a＞0保证了g’(x)＝2x≠0以及b^2-a^2≠0.
上面这道题当然非常简单（就是直接套公式）.它还可以通过构造函数F(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2来证明.这时F(a)=f(a)b^2-f(b)a^2=h(b),那么由Rolle定理知存在c∈(a,b)使得h’(c)=0,这就是要证明的.这个解法不过是套用了Cauchy中值定理证明过程.
公式的作用就是节省人们的思考或计算的时间,但这需要对公式熟练运用.最重要的是观察.像上面这道简单的例题一类的存在性问题,很容易看出端倪的,关键就在于观察哪个东西跟公式里的g(x)比较像（看g(x)和g’(x)）.常见的函数,lnx,e^(x)甚至e^(h(x))等.另外,有可能一些不等式问题的中间过程要用到Cauchy中值定理（之后进行一定程度的放缩）,你应该可以想到.至于你提到的极值问题,
微分中值定理（Lagrange、Cauchy）对于一元微分学体系的发展和完善有重要的意义,其意义是理论上的.平时题目考察的只是对公式的变形使用.两个词,观察和熟练度.我认为你看一看【用Cauchy中值定理证明洛必达法则】的过程会对理解有帮助.我觉得这是Cauchy中值定理除了几何解释外另一个很美妙的地方.