题目
高一数学【不等式】(基本不等式)
1.直线L经过M(2.1),且与X轴的非负半轴,Y轴的非负半轴分别相交于P,Q两点,O点是坐标原点,求三角形POQ面积取最小值时直线L的方程.
2.某企业预计,今年总产值的年增长率为P,明年总产值的年增长率为Q,比较这个企业从今年起,两年内总产值的年平均增长率与年增长率平均数的大小.
3.已知X,Y∈(0.1】且X
1.直线L经过M(2.1),且与X轴的非负半轴,Y轴的非负半轴分别相交于P,Q两点,O点是坐标原点,求三角形POQ面积取最小值时直线L的方程.
2.某企业预计,今年总产值的年增长率为P,明年总产值的年增长率为Q,比较这个企业从今年起,两年内总产值的年平均增长率与年增长率平均数的大小.
3.已知X,Y∈(0.1】且X
提问时间:2020-06-13
答案
这几个题都和基本不等式有关,这是高中数学必修五中的第三章知识.
1、设L:x/a+y/b=1,其中a>0,b>0,直线过点M(2,1),则2/a+1/b=1,利用基本不等式,有1=2/a+1/b≥2√(2/ab),从而ab≥8,当且仅当2/a=1/b=1/2即a=4,b=2时取等号,则S=(1/2)ab≥4,此时直线是x/4+y/2=1即x+2y=4;
2、年增长率平均数(P+Q)/2.设去年为a,则今年为a(1+P),明年是a(1+P)(1+Q),若年平均增长率为x,则去年为a今年为a(1+x),明年为a(1+x)²,即a(1+P)(1+Q)=a(1+x)²,解得x=√[(1+P)(1+Q)]-1.本题就是要比较(P+Q)/2和√[(1+P)(1+Q)]-1的大小.考虑√[(1+P)(1+Q)]-1≤[(1+P)+(1+Q)]/2-1=(P+Q)/2;
3、x、y都在(0,1)内,则这两个对数值都是正的,所以S≤[(㏒½X+㏒½Y)/2]²==(底数是1/3吧?)==1,考虑到等号取得的条件不满足(相等时取等号),从而本题选B;
4、A(-2,-1),以点坐标代入,有2m+n=1.1/m+2/n=(2m+n)(1/m+2/n)=4+n/m+4m/n≥8,当且仅当n/m=4m/n即n²=4m²时取等号(使用基本不等式的条件满足),最小值是8.
注:使用基本不等式一定要注意使用条件:正、定、等.
1、设L:x/a+y/b=1,其中a>0,b>0,直线过点M(2,1),则2/a+1/b=1,利用基本不等式,有1=2/a+1/b≥2√(2/ab),从而ab≥8,当且仅当2/a=1/b=1/2即a=4,b=2时取等号,则S=(1/2)ab≥4,此时直线是x/4+y/2=1即x+2y=4;
2、年增长率平均数(P+Q)/2.设去年为a,则今年为a(1+P),明年是a(1+P)(1+Q),若年平均增长率为x,则去年为a今年为a(1+x),明年为a(1+x)²,即a(1+P)(1+Q)=a(1+x)²,解得x=√[(1+P)(1+Q)]-1.本题就是要比较(P+Q)/2和√[(1+P)(1+Q)]-1的大小.考虑√[(1+P)(1+Q)]-1≤[(1+P)+(1+Q)]/2-1=(P+Q)/2;
3、x、y都在(0,1)内,则这两个对数值都是正的,所以S≤[(㏒½X+㏒½Y)/2]²==(底数是1/3吧?)==1,考虑到等号取得的条件不满足(相等时取等号),从而本题选B;
4、A(-2,-1),以点坐标代入,有2m+n=1.1/m+2/n=(2m+n)(1/m+2/n)=4+n/m+4m/n≥8,当且仅当n/m=4m/n即n²=4m²时取等号(使用基本不等式的条件满足),最小值是8.
注:使用基本不等式一定要注意使用条件:正、定、等.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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