题目
求证一数列是柯西数列
数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)
求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)
求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
提问时间:2020-06-13
答案
∵数列{x[n]},x[n+1]=1+1/(X[n]+1)
∴采用不动点法,设:y=1+1/(y+1),即:y^2=2
解得不动点是:y=±√2
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)
={(x[n]+2)/(x[n]+1)-√2}/{(x[n]+2)/(x[n]+1)+√2}
={(x[n]+2)-√2(x[n]+1)}/{(x[n]+2)+√2(x[n]+1)}
={(1-√2)x[n]-(√2-2)}/{(1+√2)x[n]+(√2+2)}
={(1-√2)(x[n]-√2)}/{(1+√2)(x[n]+√2)}
={(1-√2)/(1+√2)}{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
=(2√2-3){(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
∵x[1]=1
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=2√2-3
∴{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即:(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
x[n]-√2=x[n](2√2-3)^n+√2(2√2-3)^n
x[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1+(2√2-3)^n]
∴{x[n]}的通项公式:x[n]=√2[1+(2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]
∵2√2-3=√8-√9
∴-1N时,有|x[n]-x[m]|
∴采用不动点法,设:y=1+1/(y+1),即:y^2=2
解得不动点是:y=±√2
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)
={(x[n]+2)/(x[n]+1)-√2}/{(x[n]+2)/(x[n]+1)+√2}
={(x[n]+2)-√2(x[n]+1)}/{(x[n]+2)+√2(x[n]+1)}
={(1-√2)x[n]-(√2-2)}/{(1+√2)x[n]+(√2+2)}
={(1-√2)(x[n]-√2)}/{(1+√2)(x[n]+√2)}
={(1-√2)/(1+√2)}{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
=(2√2-3){(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
∵x[1]=1
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=2√2-3
∴{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即:(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
x[n]-√2=x[n](2√2-3)^n+√2(2√2-3)^n
x[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1+(2√2-3)^n]
∴{x[n]}的通项公式:x[n]=√2[1+(2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]
∵2√2-3=√8-√9
∴-1N时,有|x[n]-x[m]|
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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