题目

已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（（a>b>0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x²+y²=4截得的弦长为d、
（1）若d=2

3

，求k的值；
（2）若d≥

4

5

5

，求椭圆离心率e的取值范围．

提问时间：2020-06-13

答案

（1）取弦的中点为M，连接OM由平面几何知识，OM=1，
OM=

2

k2+1

=1．
解得k²=3，k=±

3

．
∵直线过F、B，∴k>0，
则k=

3

．
（2）设弦的中点为M，连接OM，
则OM²=

4

1+k2

，
d²=4（4-

4

1+k2

）≥（

4 5

5

）²，
解得k²≥

1

4

．
e²=

c2

a2

=

( 2 k )2

4+( 2 k )2

=

1

1+k2

≤

4

5

，
∴0<e≤

2 5

5

．

（1）若d=2

3

，求k，先有平面几何的知识求出点O到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，如此得方程．
（2）用斜率k表示出弦长d，代入d≥

4

5

5

，解出k的范围，将离心率用k表示出来，利用单调性求出离心率的范围，

本题考点：直线的斜率；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：考查直线与圆，与圆锥曲线的位置关系，本题的解题特点是把位置关系转化为方程或方程组，这是此类题的常见方式．