题目

已知函数f(x)=ln(1/2+1/2ax)+x^2-ax.a>0.若对任意a∈(1,2),总存在x∈[1/2,1],使f(x)>m(1-a^2)成立.m范围?
在前一小问中已证明当2≥a>0时,f(x)在[1/2,+∞)上是增函数.=

提问时间：2020-06-13

答案

存在x使得f(x)>m(1-a^2)
则只要使f(x)取得最大值时大于m(1-a^2)即可
所以ln(1/2+1/2a)+1-a>m(1-a^2)对任意a∈（1,2）都成立即可
所以m>[ln(1/2+1/2a)+1-a]/(1-a^2)
令g(a)=[ln(1/2+1/2a)-a+1]/(1-a^2)
g'(a)=0得a=0或a=1
当a趋向1时g(a)取得最大值-1/4
所以m>=-1/4