题目

已知cos（a-b/2)=-1/9,sin(a/2-b)=2/3,且a∈(∏/2,∏),b∈(0,∏/2),则cos[(a+b)/2]=?∏：为圆周率

提问时间：2020-06-13

答案

cos[(a+b)/2]=cos[(a-b/2)-(a/2-b)]=cos(a-b/2)cos(a/2-b)+sin(a-b/2)sin(a/2-b)
已知a∈(π/2,π),b∈(0,π/2),则有 a/2∈(π/4,π/2),b/2∈(0,π/4)
所以
a-b/2 ∈(π/4,π),第一或第二象限 则sin(a-b/2)为正
a/2-b ∈(-π/4,π/4),第一或第四象限 则 cos(a/2-b)也为正
cos(a-b/2)= -1/9,sin(a-b/2)= 4√5/9
sin(a/2-b)=2/3,cos(a/2-b)=√5/3
cos[(a+b)/2]=cos(a-b/2)cos(a/2-b)+sin(a-b/2)sin(a/2-b)= -1/9 * √5/3+4√5/9 *2/3= 7√5/27