题目
柯西定理证明题
设g(x)在[x1,x2]上可导,且x1 x2>0,试证至少存在一点m∈（x1,x2）,使得
[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
设g(x)在[x1,x2]上可导,且x1 x2>0,试证至少存在一点m∈（x1,x2）,使得
[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
提问时间：2020-06-13
答案
证明：
记f(x)=g(x)/x,h(x)=1/x,显然两函数在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件
可知至少存在一点m∈(x1,x2)使得
[f(x1)-f(x2)]/[(h(x1)-h(2)]=f'(m)/h'(m)
即[g(x1)/x1-g(x2)/x2]/[1/x1-1/x2]=[(mg'(m)-g(m))/m^2]/(-1/m^2)
整理即有[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
命题得证.
记f(x)=g(x)/x,h(x)=1/x,显然两函数在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件
可知至少存在一点m∈(x1,x2)使得
[f(x1)-f(x2)]/[(h(x1)-h(2)]=f'(m)/h'(m)
即[g(x1)/x1-g(x2)/x2]/[1/x1-1/x2]=[(mg'(m)-g(m))/m^2]/(-1/m^2)
整理即有[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
命题得证.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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