题目

不用求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出他们的所在的区间,
设a〉b〉0,n〉1,证明：nb^(n-1)*(a-b)〈a^n-b^n〈n*a^(n-1)*(a-b),

提问时间：2020-06-13

答案

导数那个就不多说了,根据罗尔中值定理：f(x)在区间[a,b]上可导,且f(a)=f(b),那么存在ξ∈[a,b],f'(ξ)=0,∴f'(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上各有一个ξ,f'(ξ)=0
第二个也不难：
方法一：考察f(x)=nb^(n-1)*(x-b),g(x)=x^n-b^n
f(b)=g(b)=0
当x>b>0时,f'(x)=nb^(n-1),g'(x)=nx^(n-1)
∴f'(x)＜g'(x)
∴[g(x)-f(x)]'＞0,当x＞b时,设h(x)=g(x)-f(x)
∴h(b)=0,由拉格朗日中值定理：存在ξ∈[b,a]
h(a)-h(b)=h'(ξ)*(a-b)=h(a)
∵h'(ξ)＞0,a-b＞0
∴h(a)＞0,∴g(a)＞f(a)
另一边：同理设f(x)=a^n-x^n,g(x)=na^(n-1)*(a-b)
即可证.
方法二：a^n-b^n=(a-b)[∑a^i*b^(n-1-i)],i=1,2,…,n-1
∵b^(n-1)=b^i*b^(n-1-i)＜a^i*b^(n-1-i)＜a^i*a^(n-i-1)=a^(n-1)
∴nb^(n-1)*()a-b＜a^n-b^n